Cosa sono le (G,X)-strutture, mappe che ci guidano nella deformazione dello spazio

Le (G,X)-strutture sono un modo di formalizzare il concetto di uno spazio topologico localmente modellato su uno spazio X, il cui gruppo di simmetrie è G. Detta così, noi comuni mortali ne sappiamo quanto prima. Ma Andrea Seppi, laureato a Trieste, dottorato a Pavia e post-doc in Lussemburgo, ricercatore all'Université Grenoble Alpes e ora ordinario nel nostro Dipartimento di Matematica "Giuseppe Peano", le conosce molto bene. 

È suo infatti l'ultimo ERC Consolidator Grant vinto all'interno del nostro Ateneo, prestigioso riconoscimento che fino a maggio 2029 gli garantirà un finanziamento di oltre 1,5 milioni di euro per il progetto GENERATE: GeomEtry and aNalysis for (G,X)-structurEs and their defoRmATion spacEs.

Può spiegarci in parole semplici, per quanto possibile, il suo progetto?

Un concetto fondamentale in matematica, e in particolare in quel ramo della matematica che è la geometria, è quello di simmetria. Fu Felix Klein, nel celebre programma di Erlangen del 1872, a promuovere questo punto di vista, basandosi sull’osservazione cruciale che tutti i concetti che si possono utilizzare in geometria (ad esempio, nella geometria Euclidea, le lunghezze, gli angoli, le aree…) sono preservati dalle sue simmetrie (che in geometria Euclidea sono le trasformazioni rigide). Questo punto di vista si applica non solo alla geometria Euclidea, ma anche alle geometrie non-Euclidee (ad esempio la geometria iperbolica) che erano già state studiate nel corso del 1800, alla geometria proiettiva, e ad altri tipi di geometrie che giocano un ruolo fondamentale nel mio progetto, ad esempio quella pseudo-iperbolica.

Devo ammettere che spesso noi matematici puri guardiamo le applicazioni da molto lontano, troppo per toccarle davvero con mano

Il mio progetto propone di affrontare varie domande in questo ambito, alcune aperte da una ventina di anni, altre nuove, proponendo di utilizzare non solo metodi geometrici, ma anche alcuni degli strumenti dell’analisi matematica. Questa idea, ovviamente, non è nuova di per sé, ma ritengo che importare in geometria alcune delle tecniche analitiche più recenti, combinando quindi diversi approcci, possa portare a nuovi ed importanti sviluppi. 

Per farci un'idea, come possiamo immaginarci noi "non matematici" le (G,X)-strutture? Ci sono immagini che ci aiutano a dare forma a questa idea?

Il concetto di (G,X)-struttura getta le sue radici proprio nel concetto di simmetria promosso da Klein nel 1872. Una (G,X)-struttura va immaginata come un atlante, che serve a rappresentare porzioni di uno spazio geometrico, proprio come gli atlanti che noi conosciamo servono a rappresentare il pianeta Terra. Ogni pagina copre una porzione della Terra mediante una carta geografica, e quando si arriva al bordo di una pagina, si può proseguire su un’altra pagina, nella quale vi è un’altra carta geografica avente una piccola intersezione con la precedente. Ecco, una (G,X)-struttura è un atlante, che serve a rappresentare le cosiddette “varietà”, cioè spazi muniti di una certa geometria. In questa terminologia, X rappresenta uno “spazio geometrico modello”, che viene usato per “fabbricare” le diverse pagine, mentre G è un gruppo di simmetrie di tale spazio modello X, che codifica essenzialmente il modo in cui dobbiamo “riorientarci” quando passiamo da una pagina all’altra. 

Quali potrebbero essere le applicazioni pratiche e/o le conseguenze a fine analisi?

Devo ammettere che spesso noi matematici puri guardiamo le applicazioni da molto lontano, troppo per toccarle davvero con mano. È il caso di questo progetto. È allo stesso tempo gratificante, perché ci permette di studiare un problema “alla radice” nella massima generalità ed astrazione, e frustrante, perché rende difficile comunicare con il mondo reale. Nel caso del mio progetto, alcune delle strutture geometriche che studio sono delle strutture Lorentziane, oggetti molto studiati in fisica, specialmente in relatività generale, la quale si propone di studiare la struttura del nostro universo. È probabilmente questa la direzione in cui si troveranno le maggiori “applicazioni” dei risultati del progetto in altri ambiti. 

La matematica sta diventando sempre di più una disciplina in cui si lavora in maniera collaborativa

Come cambiano gli sviluppi del progetto a seguito del finanziamento ERC?

Il finanziamento ERC mi permetterà di creare un vero e proprio gruppo di ricerca, ed è questa la principale svolta. Ho assunto, e potrò assumere, vari studenti di dottorato e post-doc, che potranno cercare di sviluppare le idee del mio progetto. Questo chiaramente accelererà enormemente il raggiungimento degli obiettivi, perché da solo non avrei il tempo e le energie di lavorare a tempo pieno su molte direzioni. Ho avuto la fortuna di riuscire ad attrarre nel mio gruppo persone giovani davvero brave, ed i primi risultati si stanno già vedendo, molto più velocemente di quanto mi aspettassi. 

Inoltre, la matematica sta diventando sempre di più una disciplina in cui si lavora in maniera collaborativa. Tempo fa i ricercatori avevano l’abitudine di lavorare da soli, comunicando tra di loro mediante la scrittura di articoli e lo scambio di lettere. Oggi la comunità matematica è ovviamente molto più connessa, la maggior parte degli articoli si scrive in collaborazione, anche se di solito (almeno nel mio ambito) in piccoli gruppi di 2/3 autori. Sono convinto che avere un gruppo di giovani ricercatrici e ricercatori che si incontrano regolarmente, ed organizzare conferenze con altri esperti del settore, darà la possibilità di creare molte nuove collaborazioni, e ottenere risultati inaspettati.